Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{4} {(k + 7)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(k + 7)}^{2}$ в виде $(k + 7) (k + 7)$ .

$(k + 7) (k + 7)$

Этап 1.2

Развернем $(k + 7) (k + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k (k + 7) + 7 (k + 7)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$k \cdot k + k \cdot 7 + 7 (k + 7)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$k \cdot k + k \cdot 7 + 7 k + 7 \cdot 7$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $k$ на $k$ .

$k^{2} + k \cdot 7 + 7 k + 7 \cdot 7$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $7$ влево от $k$ .

$k^{2} + 7 \cdot k + 7 k + 7 \cdot 7$

Этап 1.3.1.3

Умножим $7$ на $7$ .

$k^{2} + 7 k + 7 k + 49$

Этап 1.3.2

Добавим $7 k$ и $7 k$ .

$k^{2} + 14 k + 49$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 1}^{4} k^{2} + 14 k + 49$

Этап 2

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$1^{2} + 14 \cdot 1 + 49 + 2^{2} + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 14 \cdot 1 + 49 + 2^{2} + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.2

Умножим $14$ на $1$ .

$1 + 14 + 49 + 2^{2} + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.3

Добавим $1$ и $14$ .

$15 + 49 + 2^{2} + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.4

Добавим $15$ и $49$ .

$64 + 2^{2} + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$64 + 4 + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.6

Умножим $14$ на $2$ .

$64 + 4 + 28 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.7

Добавим $4$ и $28$ .

$64 + 32 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.8

Добавим $32$ и $49$ .

$64 + 81 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.9

Добавим $64$ и $81$ .

$145 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$145 + 9 + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.11

Умножим $14$ на $3$ .

$145 + 9 + 42 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.12

Добавим $9$ и $42$ .

$145 + 51 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.13

Добавим $51$ и $49$ .

$145 + 100 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.14

Добавим $145$ и $100$ .

$245 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.15

Возведем $4$ в степень $2$ .

$245 + 16 + 14 \cdot 4 + 49$

Этап 3.16

Умножим $14$ на $4$ .

$245 + 16 + 56 + 49$

Этап 3.17

Добавим $16$ и $56$ .

$245 + 72 + 49$

Этап 3.18

Добавим $72$ и $49$ .

$245 + 121$

Этап 3.19

Добавим $245$ и $121$ .

$366$