Математический анализ Примеры

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $j$ было равно $1$ .

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

Этап 2.2

Найдем значение $6 \sum_{j = 1}^{30} j$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.2.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Добавим $30$ и $1$ .

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $30$ на $31$ .

$6 (\frac{930}{2})$

Этап 2.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{930}{2}$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

Этап 2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 930$

Этап 2.2.3.3

Умножим $3$ на $930$ .

$2790$

Этап 2.3

Найдем значение $\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем $- \frac{4}{3}$ за символ суммирования.

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

Этап 2.3.2

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2.3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Добавим $30$ и $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Этап 2.3.4.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.2.1

Умножим $30$ на $31$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Этап 2.3.4.1.2.2

Умножим $2$ на $30$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

Этап 2.3.4.1.3

Добавим $60$ и $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

Этап 2.3.4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $930$ на $61$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Этап 2.3.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Этап 2.3.4.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Этап 2.3.4.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.4.2.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.4.2.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

Этап 2.3.4.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $56730$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

Этап 2.3.4.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

Этап 2.3.4.2.3.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (\frac{18910}{3})$

Этап 2.3.4.2.4

Объединим $- 2$ и $\frac{18910}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

Этап 2.3.4.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.5.1

Умножим $- 2$ на $18910$ .

$\frac{- 37820}{3}$

Этап 2.3.4.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{37820}{3}$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$2790 - \frac{37820}{3}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы записать $2790$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

Этап 2.5.2

Объединим $2790$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

Этап 2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

Этап 2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $2790$ на $3$ .

$\frac{8370 - 37820}{3}$

Этап 2.5.4.2

Вычтем $37820$ из $8370$ .

$\frac{- 29450}{3}$

Этап 2.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{29450}{3}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $j$ .

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $6$ на $1$ .

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Этап 3.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

Этап 3.2.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$6 - \frac{4}{3}$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 3.2.3

Объединим $6$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

Этап 3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{18 - 4}{3}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $4$ из $18$ .

$\frac{14}{3}$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

Этап 5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $14$ из $- 29450$ .

$\frac{- 29464}{3}$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{29464}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{29464}{3}$

Десятичная форма:

$- 9821.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$- 9821 \frac{1}{3}$