Математический анализ Примеры

$x^{2} e^{- x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2} e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.2.2

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$- (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.2.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.2.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{- x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$

Этап 2.3.2

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1)$

Этап 2.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1)$

Этап 2.3.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Этап 2.3.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Этап 2.3.10

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Этап 2.4.3.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Этап 2.4.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Этап 2.4.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Этап 2.4.3.5

Вычтем $2 x e^{- x}$ из $- 2 e^{- x} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.5.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Этап 2.4.3.5.2

Вычтем $2 x e^{- x}$ из $- 2 x e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$e^{- x} x^{2} - 4 e^{- x} x + 2 e^{- x}$

Этап 2.4.5

Изменим порядок множителей в $e^{- x} x^{2} - 4 e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.2.2.2

$x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.2.7

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.2.8

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x e^{- x}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3.2

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3.3.2

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.3.10

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{- x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $- x$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- x$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 3.4.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 3.4.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 3.4.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- e^{- x})$

Этап 3.4.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 2 e^{- x}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x})) - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + 4 (x (e^{- x})) - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Этап 3.5.2.2

Добавим $e^{- x} (2 x)$ и $4 x e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 x e^{- x} + 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Этап 3.5.2.2.2

Добавим $2 x e^{- x}$ и $4 x e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 6 x e^{- x} - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

Этап 3.5.2.3

Вычтем $2 e^{- x}$ из $- 4 e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$

Этап 3.5.3

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} x^{2} + 6 e^{- x} x - 6 e^{- x}$

Этап 3.5.4

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{2} + 6 e^{- x} x - 6 e^{- x}$ .

$f''' (x) = - x^{2} e^{- x} + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $- x^{2} e^{- x} + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2} e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.2.2

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$- (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.2.3.2

$- (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.2.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.2.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x e^{- x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3.2

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3.3.2

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.3.10

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 e^{- x}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.4.2.2

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 4.4.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 4.4.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 4.4.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (- e^{- x})$

Этап 4.4.8

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 6 e^{- x}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 6 e^{- x}$

Этап 4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Этап 4.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Этап 4.5.3.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Этап 4.5.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Этап 4.5.3.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 6 (x (e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Этап 4.5.3.5

Вычтем $6 x e^{- x}$ из $- 2 e^{- x} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.5.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Этап 4.5.3.5.2

Вычтем $6 x e^{- x}$ из $- 2 x e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

Этап 4.5.3.6

Добавим $6 e^{- x}$ и $6 e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 12 e^{- x}$

Этап 4.5.4

Изменим порядок членов.

$e^{- x} x^{2} - 8 e^{- x} x + 12 e^{- x}$

Этап 4.5.5

Изменим порядок множителей в $e^{- x} x^{2} - 8 e^{- x} x + 12 e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 12 e^{- x}$