Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{8}{3}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Поскольку ${\displaystyle -4}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -4x^{\frac{5}{3}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -4\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{5}{3}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{5}{3}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ и ${\displaystyle x^{\frac{2}{3}}}$.

Объединим ${\displaystyle -4}$ и ${\displaystyle \frac{5x^{\frac{2}{3}}}{3}}$.

Умножим ${\displaystyle 5}$ на ${\displaystyle -4}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Поскольку ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{8x^{\frac{5}{3}}}{3}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{8}{3}\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{5}{3}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{5}{3}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ и ${\displaystyle x^{\frac{2}{3}}}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ на ${\displaystyle \frac{5x^{\frac{2}{3}}}{3}}$.

Умножим ${\displaystyle 5}$ на ${\displaystyle 8}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 3}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{20}{3}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{20x^{\frac{2}{3}}}{3}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{20}{3}\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{2}{3}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{2}{3}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{1}{3}}}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3}}$ на ${\displaystyle \frac{20}{3}}$.

Умножим ${\displaystyle 20}$ на ${\displaystyle 2}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 3}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{1}{3}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{40}{9}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{40x^{\frac{2}{3}}}{9}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{40}{9}\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{2}{3}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{2}{3}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{1}{3}}}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{40}{9}}$ на ${\displaystyle \frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3}}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle 40}$.

Умножим ${\displaystyle 9}$ на ${\displaystyle 3}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{1}{3}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{40}{9}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{40}{9x^{\frac{1}{3}}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{40}{9}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{3}}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{-2}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{3}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$.

Умножим ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$ на ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$, сложив экспоненты.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{4}{3}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{40}{9}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{40}{9}}$ на ${\displaystyle \frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}}}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 9}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{80}{27}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{80}{27x^{\frac{1}{3}}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{80}{27}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{3}}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{-2}}$.