Математический анализ Примеры

$x^{4} {(x - 1)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} (4 x^{3})$

Этап 1.3.6

Перенесем $4$ влево от ${(x - 1)}^{3}$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 \cdot {(x - 1)}^{3} x^{3}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ из $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ из $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2})$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$

Этап 1.4.1.2

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ из $4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$

Этап 1.4.1.3

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ из $x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3) + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.3

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.4

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{3} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.5.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{3} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.5.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.5.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{3} (x^{2} - x - x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.5.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{3 + 2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.7.1.2

Добавим $3$ и $2$ .

$(x^{5} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.7.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.8

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Перенесем $x$ .

$(x^{5} - 2 (x \cdot x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.8.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{5} - 2 (x^{1} x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{5} - 2 x^{1 + 3} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.8.3

Добавим $1$ и $3$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Этап 1.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x + 4 \cdot - 1)$

Этап 1.4.9.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x - 4)$

Этап 1.4.10

Добавим $3 x$ и $4 x$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$

Этап 1.4.11

Развернем $(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{5} (7 x) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x^{5} x + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.2

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.2.1

Перенесем $x$ .

$7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.2.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.2.3

Добавим $1$ и $5$ .

$7 x^{6} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.3

Перенесем $- 4$ влево от $x^{5}$ .

$7 x^{6} - 4 \cdot x^{5} - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.5

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.5.1

Перенесем $x$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x \cdot x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.5.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x^{1} x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{1 + 4} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.5.3

Добавим $1$ и $4$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.6

Умножим $- 2$ на $7$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.7

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.9

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.9.1

Перенесем $x$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.9.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.9.3

Добавим $1$ и $3$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} + x^{3} \cdot - 4$

Этап 1.4.12.10

Перенесем $- 4$ влево от $x^{3}$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

Этап 1.4.13

Вычтем $14 x^{5}$ из $- 4 x^{5}$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

Этап 1.4.14

Добавим $8 x^{4}$ и $7 x^{4}$ .

$f' (x) = 7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{6}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.2.3

Умножим $6$ на $7$ .

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 18 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x^{5}$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$42 x^{5} - 18 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$42 x^{5} - 18 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.3.3

Умножим $5$ на $- 18$ .

$42 x^{5} - 90 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{4}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$42 x^{5} - 90 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$42 x^{5} - 90 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.4.3

Умножим $4$ на $15$ .

$42 x^{5} - 90 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$42 x^{5} - 90 x^{4} + 60 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$42 x^{5} - 90 x^{4} + 60 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Этап 2.5.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} - 90 x^{4} + 60 x^{3} - 12 x^{2}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $42 x^{5} - 90 x^{4} + 60 x^{3} - 12 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $42$ является константой относительно $x$ , производная $42 x^{5}$ по $x$ равна $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Этап 3.2.3

Умножим $5$ на $42$ .

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 90 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 90$ является константой относительно $x$ , производная $- 90 x^{4}$ по $x$ равна $- 90 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$210 x^{4} - 90 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$210 x^{4} - 90 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Этап 3.3.3

Умножим $4$ на $- 90$ .

$210 x^{4} - 360 x^{3} + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $60$ является константой относительно $x$ , производная $60 x^{3}$ по $x$ равна $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$210 x^{4} - 360 x^{3} + 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$210 x^{4} - 360 x^{3} + 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Этап 3.4.3

Умножим $3$ на $60$ .

$210 x^{4} - 360 x^{3} + 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$210 x^{4} - 360 x^{3} + 180 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$210 x^{4} - 360 x^{3} + 180 x^{2} - 12 (2 x)$

Этап 3.5.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f''' (x) = 210 x^{4} - 360 x^{3} + 180 x^{2} - 24 x$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $210 x^{4} - 360 x^{3} + 180 x^{2} - 24 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $210$ является константой относительно $x$ , производная $210 x^{4}$ по $x$ равна $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.2.3

Умножим $4$ на $210$ .

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 360 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 360$ является константой относительно $x$ , производная $- 360 x^{3}$ по $x$ равна $- 360 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$840 x^{3} - 360 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$840 x^{3} - 360 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.3.3

Умножим $3$ на $- 360$ .

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $180$ является константой относительно $x$ , производная $180 x^{2}$ по $x$ равна $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.4.3

Умножим $2$ на $180$ .

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + 360 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + 360 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + 360 x - 24 \cdot 1$

Этап 4.5.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f^{4} (x) = 840 x^{3} - 1080 x^{2} + 360 x - 24$