Математический анализ Примеры

$\frac{3}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

Этап 1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{3}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 3 (- 2 x^{- 3})$

Этап 2.4

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$6 x^{- 3}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.5.2

Объединим $6$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{3}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6}{x^{3}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Этап 3.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$6 (- 3 x^{- 4})$

Этап 3.4

Умножим $- 3$ на $6$ .

$- 18 x^{- 4}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Объединим $- 18$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 18}{x^{4}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{18}{x^{4}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{18}{x^{4}}$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$- 18 (- 4 x^{- 5})$

Этап 4.4

Умножим $- 4$ на $- 18$ .

$72 x^{- 5}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$72 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 4.5.2

Объединим $72$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{72}{x^{5}}$