Математический анализ Примеры

${(9 x + 4)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 9 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [9 x + 4]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 4]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x + 4$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 4]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $9 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.2.4

Умножим $9$ на $1$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 + 0)$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $9$ и $0$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} \cdot 9$

Этап 1.2.6.2

Умножим $9$ на $4$ .

$f' (x) = 36 {(9 x + 4)}^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 {(9 x + 4)}^{3}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [{(9 x + 4)}^{3}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [{(9 x + 4)}^{3}]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x + 4$ .

$36 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$36 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x + 4$ .

$36 (3 {(9 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $3$ на $36$ .

$108 ({(9 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $9 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.5

Умножим $9$ на $1$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 + 0)$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $9$ и $0$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} \cdot 9$

Этап 2.3.7.2

Умножим $9$ на $108$ .

$f'' (x) = 972 {(9 x + 4)}^{2}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(9 x + 4)}^{2}$ в виде $(9 x + 4) (9 x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [972 ((9 x + 4) (9 x + 4))]$

Этап 3.2

Развернем $(9 x + 4) (9 x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [972 (9 x (9 x + 4) + 4 (9 x + 4))]$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [972 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x + 4))]$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [972 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [972 (9 \cdot 9 x \cdot x + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [972 (9 \cdot 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [972 (9 \cdot 9 x^{2} + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Этап 3.3.1.3

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Этап 3.3.1.4

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 36 x + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Этап 3.3.1.5

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 36 x + 36 x + 4 \cdot 4)]$

Этап 3.3.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 36 x + 36 x + 16)]$

Этап 3.3.2

Добавим $36 x$ и $36 x$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 72 x + 16)]$

Этап 3.4

Поскольку $972$ является константой относительно $x$ , производная $972 (81 x^{2} + 72 x + 16)$ по $x$ равна $972 \frac{d}{d x} [81 x^{2} + 72 x + 16]$ .

$972 \frac{d}{d x} [81 x^{2} + 72 x + 16]$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $81 x^{2} + 72 x + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$972 (\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Этап 3.6

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81 x^{2}$ по $x$ равна $81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$972 (81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$972 (81 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $81$ .

$972 (162 x + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Этап 3.9

Поскольку $72$ является константой относительно $x$ , производная $72 x$ по $x$ равна $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$972 (162 x + 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$972 (162 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

Этап 3.11

Умножим $72$ на $1$ .

$972 (162 x + 72 + \frac{d}{d x} [16])$

Этап 3.12

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$972 (162 x + 72 + 0)$

Этап 3.13

Добавим $162 x + 72$ и $0$ .

$972 (162 x + 72)$

Этап 3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$972 (162 x) + 972 \cdot 72$

Этап 3.14.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.2.1

Умножим $162$ на $972$ .

$157464 x + 972 \cdot 72$

Этап 3.14.2.2

Умножим $972$ на $72$ .

$f''' (x) = 157464 x + 69984$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $157464 x + 69984$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [157464 x] + \frac{d}{d x} [69984]$ .

$\frac{d}{d x} [157464 x] + \frac{d}{d x} [69984]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [157464 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $157464$ является константой относительно $x$ , производная $157464 x$ по $x$ равна $157464 \frac{d}{d x} [x]$ .

$157464 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [69984]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$157464 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [69984]$

Этап 4.2.3

Умножим $157464$ на $1$ .

$157464 + \frac{d}{d x} [69984]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $69984$ является константой относительно $x$ , производная $69984$ относительно $x$ равна $0$ .

$157464 + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $157464$ и $0$ .

$f^{4} (x) = 157464$