Математический анализ Примеры

$\arctan (\frac{1 + x}{1 - x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + x$ и $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.5

Умножим $1 - x$ на $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.10.2

Умножим $1 + x$ на $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $1 + x$ на $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.12.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.12.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.12.4

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.12.5

Умножим $\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}}$ на $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2}{(1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}) {(1 - x)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{2}{(1 + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{(\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ и ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель ${(1 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Этап 4.2.4.2

Разделим ${(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем ${(1 - x)}^{2}$ в виде $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{2}{(1 - x) (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Развернем $(1 - x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 (1 - x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2}{1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.3.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Этап 4.3.4

Перепишем ${(1 + x)}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 + x)$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + (1 + x) (1 + x)}$

Этап 4.3.5

Развернем $(1 + x) (1 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 (1 + x) + x (1 + x)}$

Этап 4.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)}$

Этап 4.3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Этап 4.3.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Этап 4.3.6.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Этап 4.3.6.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x \cdot x}$

Этап 4.3.6.1.4

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x^{2}}$

Этап 4.3.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 2 x + x^{2}}$

Этап 4.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{- 2 x + x^{2} + 2 + 2 x + x^{2}}$

Этап 4.3.8

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + 0 + x^{2}}$

Этап 4.3.9

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + x^{2}}$

Этап 4.3.10

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

Этап 4.3.11

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

Этап 4.3.11.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Этап 4.3.11.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$