Математический анализ Примеры

$e^{r (θ - t)} S^{- 1}$

Этап 1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)} \frac{1}{S}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $e^{r (θ - t)}$ и $\frac{1}{S}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{e^{r (θ - t)}}{S}]$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{1}{S}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ по $t$ равна $\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$ .

$\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = r (θ - t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{S} (e^{u} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (e^{r (θ - t)} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $e^{r (θ - t)}$ и $\frac{1}{S}$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [r (θ - t)]$

Этап 4.2

Поскольку $r$ является константой относительно $t$ , производная $r (θ - t)$ по $t$ равна $r \frac{d}{d t} [θ - t]$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} (r \frac{d}{d t} [θ - t])$

Этап 4.3

Объединим $r$ и $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [θ - t]$

Этап 4.4

По правилу суммы производная $θ - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 4.5

Поскольку $θ$ является константой относительно $t$ , производная $θ$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 4.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 4.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \cdot - 1$

Этап 4.9.2

Объединим $\frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$ и $- 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)} \cdot - 1}{S}$

Этап 4.9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $r e^{r (θ - t)}$ .

$\frac{- 1 \cdot (r e^{r (θ - t)})}{S}$

Этап 4.9.3.2

Перепишем $- 1 r$ в виде $- r$ .

$\frac{- r e^{r (θ - t)}}{S}$

Этап 4.9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{r e^{r θ + r (- t)}}{S}$

Этап 5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{r e^{r θ - r t}}{S}$