Математический анализ Примеры

$\frac{\tan (x) - 1}{\sec (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \tan (x) - 1$ и $g (x) = \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1] - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 2

По правилу суммы производная $\tan (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\sec (x) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + 0) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 4.2

Добавим $\sec^{2} (x)$ и $0$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 5

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 2} - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Этап 6

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Этап 7

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Этап 8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sec^{2} (x) + (- \tan (x) - - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Умножим $- \tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 9.3.1.1.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 9.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 9.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 9.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 9.3.1.3

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 9.3.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 + \tan (x)}{\sec (x)}$