Математический анализ Примеры

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (x)$ .

$4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Этап 2.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Этап 2.3

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Этап 2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $3$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan^{4} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x))$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ из $4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ из $4 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ из $- 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ из $4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Этап 4.2

Применим формулу Пифагора.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$