Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3} = y$ .

$\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3} = y$

Этап 2

Добавим $\sqrt{x + 3}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{x - 3} = y + \sqrt{x + 3}$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x - 3}}^{2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 3}$ в виде ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 3)}^{1} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$x - 3 = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$ в виде $(y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$ .

$x - 3 = (y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 3 = y (y + \sqrt{x + 3}) + \sqrt{x + 3} (y + \sqrt{x + 3})$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 3 = y \cdot y + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} (y + \sqrt{x + 3})$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 3 = y \cdot y + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$

Этап 4.3.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.1

Возведем $\sqrt{x + 3}$ в степень $1$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}$

Этап 4.3.1.3.1.2.2

Возведем $\sqrt{x + 3}$ в степень $1$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}$

Этап 4.3.1.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}$

Этап 4.3.1.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ в виде $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 4.3.1.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.3.1.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.3.1.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{1}$

Этап 4.3.1.3.1.3.5

Упростим.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + x + 3$

Этап 4.3.1.3.2

Изменим порядок множителей в $\sqrt{x + 3} y$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + y \sqrt{x + 3} + x + 3$

Этап 4.3.1.3.3

Добавим $y \sqrt{x + 3}$ и $y \sqrt{x + 3}$ .

$x - 3 = y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3$

Этап 5

Решим относительно $2 y \sqrt{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3$ .

$y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $2 y \sqrt{x + 3}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3 - y^{2}$

Этап 5.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 y \sqrt{x + 3} + 3 = x - 3 - y^{2} - x$

Этап 5.2.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 y \sqrt{x + 3} = x - 3 - y^{2} - x - 3$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 3 - y^{2} - x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$2 y \sqrt{x + 3} = - 3 - y^{2} + 0 - 3$

Этап 5.2.4.2

Добавим $- 3 - y^{2}$ и $0$ .

$2 y \sqrt{x + 3} = - 3 - y^{2} - 3$

Этап 5.2.5

Вычтем $3$ из $- 3$ .

$2 y \sqrt{x + 3} = - y^{2} - 6$

Этап 6

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 y \sqrt{x + 3})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Этап 7

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y)}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило умножения к $2 y$ .

$2^{2} y^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 y^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 y^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 y^{2} {(x + 3)}^{1} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Упростим.

$4 y^{2} (x + 3) = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} x + 4 y^{2} \cdot 3 = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.6

Умножим $3$ на $4$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим ${(- y^{2} - 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Перепишем ${(- y^{2} - 6)}^{2}$ в виде $(- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = (- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$

Этап 7.3.1.2

Развернем $(- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2} - 6) - 6 (- y^{2} - 6)$

Этап 7.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2} - 6)$

Этап 7.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = 1 y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.4

Умножим $y^{4}$ на $1$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.5

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} + 6 y^{2} - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.7

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} + 6 y^{2} + 36$

Этап 7.3.1.3.2

Добавим $6 y^{2}$ и $6 y^{2}$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 12 y^{2} + 36$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вычтем $12 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{2} x = y^{4} + 12 y^{2} + 36 - 12 y^{2}$

Этап 8.1.2

Объединим противоположные члены в $y^{4} + 12 y^{2} + 36 - 12 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Вычтем $12 y^{2}$ из $12 y^{2}$ .

$4 y^{2} x = y^{4} + 0 + 36$

Этап 8.1.2.2

Добавим $y^{4}$ и $0$ .

$4 y^{2} x = y^{4} + 36$

Этап 8.2

Разделим каждый член $4 y^{2} x = y^{4} + 36$ на $4 y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $4 y^{2} x = y^{4} + 36$ на $4 y^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} x}{4 y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{2} x}{4 y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Этап 8.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Этап 8.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{4}$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{4}$ .

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Этап 8.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $4 y^{2}$ .

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2} \cdot 4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Этап 8.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2} \cdot 4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Этап 8.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Этап 8.2.3.1.2

Сократим общий множитель $36$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 y^{2}}$

Этап 8.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 (y^{2})}$

Этап 8.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 y^{2}}$

Этап 8.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{9}{y^{2}}$