Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ не определено.

$x = - \frac{5}{6}$

Этап 2

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Этап 2.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $10$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.2.6

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.2.7

Вынесем член $11$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 2.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Этап 2.4.2

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Этап 2.4.3

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 2.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Этап 2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Умножим $11$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Этап 2.6.1.2

Добавим $10$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Этап 2.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим $10$ на $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 0}$

Этап 2.6.2.2

Добавим $12$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12}$

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Этап 3.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $10$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Этап 3.2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 3.2.4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 3.2.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 3.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 3.2.7

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 3.2.8

Вынесем член $11$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 3.3

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Этап 3.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Этап 3.4.2

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Этап 3.4.3

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 3.5

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Умножим $11$ на $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Этап 3.6.1.2

Добавим $10$ и $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Этап 3.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Умножим $10$ на $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 0}$

Этап 3.6.2.2

Добавим $12$ и $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12}$

Этап 3.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{10}}{12}$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

Этап 5

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{5}{6}$

Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7