Математический анализ Примеры

$y = \ln (7 x^{3} - x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (7 x^{3} - x^{2}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 7 x^{3} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $7 x^{3} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{3}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.2.4

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - (2 x))$

Этап 3.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - 2 x)$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - 2 x)$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{7 x^{3} - x^{2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $7 x^{3} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $7 x^{3}$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x) - x^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x - 1)}$

Этап 3.3.3

Умножим $21 x^{2} - 2 x$ на $\frac{1}{x^{2} (7 x - 1)}$ .

$\frac{21 x^{2} - 2 x}{x^{2} (7 x - 1)}$

Этап 3.3.4

Вынесем множитель $x$ из $21 x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $21 x^{2}$ .

$\frac{x (21 x) - 2 x}{x^{2} (7 x - 1)}$

Этап 3.3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x (21 x) + x \cdot - 2}{x^{2} (7 x - 1)}$

Этап 3.3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x (21 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (21 x - 2)}{x^{2} (7 x - 1)}$

Этап 3.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (7 x - 1)$ .

$\frac{x (21 x - 2)}{x (x (7 x - 1))}$

Этап 3.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (21 x - 2)}{x (x (7 x - 1))}$

Этап 3.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$