Математический анализ Примеры

$y = x^{3} \sin^{3} (x^{3})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} \sin^{3} (x^{3}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sin^{3} (x^{3})$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x^{3})] + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sin (x^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x^{3})$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x^{3})$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3}$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3}$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) (3 x^{2})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$x^{3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) x^{2}) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.5

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.5.3

Добавим $2$ и $3$ .

$x^{5} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{5} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) (3 x^{2})$

Этап 3.7

Изменим порядок членов.

$9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$