Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 1})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 1}$ в виде ${(x^{2} - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 1}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$- {(x^{2} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {(x^{2} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x)$

Этап 3.3.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} - 1)}^{- 2} x$

Этап 3.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}} x$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} x$

Этап 3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} x$

Этап 3.5.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$