Математический анализ Примеры

$y = {\sin (x)}^{\cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sin (x)}^{\cos (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ в виде $e^{\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})}]$

Этап 3.1.2

Развернем $\ln ({\sin (x)}^{\cos (x)})$ , вынося $\cos (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (\sin (x))}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (x) \ln (\sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x) \ln (\sin (x))$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.4.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.5

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.6

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.7

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.8

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} ({\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.11

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x)))$

Этап 3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\cos^{2} (x) \csc (x)) + e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} (\ln (\sin (x)) (- \sin (x)))$

Этап 3.12.2

Избавимся от скобок.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) + e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

Этап 3.12.3

Изменим порядок членов.

$e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \cos^{2} (x) \csc (x) - e^{\cos (x) \ln (\sin (x))} \sin (x) \ln (\sin (x))$