Математический анализ Примеры

$y = {(4 x + 1)}^{2} {(1 - x)}^{3}$

Этап 1

Перепишем ${(4 x + 1)}^{2}$ в виде $(4 x + 1) (4 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(4 x + 1) (4 x + 1) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 2

Развернем $(4 x + 1) (4 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x + 1) + 1 (4 x + 1)) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x + 1)) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 3.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 4 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 3.1.5

Умножим $4 x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1 \cdot 1) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{3}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 16 x^{2} + 8 x + 1$ и $g (x) = {(1 - x)}^{3}$ .

$(16 x^{2} + 8 x + 1) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3}] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x$ .

$(16 x^{2} + 8 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(16 x^{2} + 8 x + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$(16 x^{2} + 8 x + 1) (3 {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $3$ влево от $16 x^{2} + 8 x + 1$ .

$3 \cdot (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 6.2

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 6.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 6.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 6.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 6.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 6.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} \cdot 1 + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 6.8

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 8 x + 1]$

Этап 6.9

По правилу суммы производная $16 x^{2} + 8 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.10

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{2}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.12

Умножим $2$ на $16$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (32 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.13

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (32 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (32 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.15

Умножим $8$ на $1$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (32 x + 8 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.16

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (32 x + 8 + 0)$

Этап 6.17

Добавим $32 x + 8$ и $0$ .

$- 3 (16 x^{2} + 8 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (32 x + 8)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 3 (16 x^{2}) - 3 (8 x) - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (32 x + 8)$

Этап 7.2

Умножим $16$ на $- 3$ .

$(- 48 x^{2} - 3 (8 x) - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (32 x + 8)$

Этап 7.3

Умножим $8$ на $- 3$ .

$(- 48 x^{2} - 24 x - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (32 x + 8)$

Этап 7.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$(- 48 x^{2} - 24 x - 3) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (32 x + 8)$

Этап 7.5

Вынесем множитель ${(1 - x)}^{2}$ из $(- 48 x^{2} - 24 x - 3) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (32 x + 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель ${(1 - x)}^{2}$ из $(- 48 x^{2} - 24 x - 3) {(1 - x)}^{2}$ .

${(1 - x)}^{2} (- 48 x^{2} - 24 x - 3) + {(1 - x)}^{3} (32 x + 8)$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель ${(1 - x)}^{2}$ из ${(1 - x)}^{3} (32 x + 8)$ .

${(1 - x)}^{2} (- 48 x^{2} - 24 x - 3) + {(1 - x)}^{2} ((1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель ${(1 - x)}^{2}$ из ${(1 - x)}^{2} (- 48 x^{2} - 24 x - 3) + {(1 - x)}^{2} ((1 - x) (32 x + 8))$ .

${(1 - x)}^{2} (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.6

Перепишем ${(1 - x)}^{2}$ в виде $(1 - x) (1 - x)$ .

$(1 - x) (1 - x) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.7

Развернем $(1 - x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 (1 - x) - x (1 - x)) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.8.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.8.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 - x - x - x (- x)) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.8.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.8.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.5.1

Перенесем $x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.8.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.8.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(1 - x - x + 1 x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.8.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$(1 - x - x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.8.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + (1 - x) (32 x + 8))$

Этап 7.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Развернем $(1 - x) (32 x + 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 1 (32 x + 8) - x (32 x + 8))$

Этап 7.9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 1 (32 x) + 1 \cdot 8 - x (32 x + 8))$

Этап 7.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 1 (32 x) + 1 \cdot 8 - x (32 x) - x \cdot 8)$

Этап 7.9.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1.1

Умножим $32 x$ на $1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 32 x + 1 \cdot 8 - x (32 x) - x \cdot 8)$

Этап 7.9.2.1.2

Умножим $8$ на $1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 32 x + 8 - x (32 x) - x \cdot 8)$

Этап 7.9.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 32 x + 8 - 1 \cdot 32 x \cdot x - x \cdot 8)$

Этап 7.9.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 32 x + 8 - 1 \cdot 32 (x \cdot x) - x \cdot 8)$

Этап 7.9.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 32 x + 8 - 1 \cdot 32 x^{2} - x \cdot 8)$

Этап 7.9.2.1.5

Умножим $- 1$ на $32$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 32 x + 8 - 32 x^{2} - x \cdot 8)$

Этап 7.9.2.1.6

Умножим $8$ на $- 1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 32 x + 8 - 32 x^{2} - 8 x)$

Этап 7.9.2.2

Вычтем $8 x$ из $32 x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 24 x + 8 - 32 x^{2})$

Этап 7.10

Объединим противоположные члены в $- 48 x^{2} - 24 x - 3 + 24 x + 8 - 32 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Добавим $- 24 x$ и $24 x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} + 0 - 3 + 8 - 32 x^{2})$

Этап 7.10.2

Добавим $- 48 x^{2}$ и $0$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 48 x^{2} - 3 + 8 - 32 x^{2})$

Этап 7.11

Вычтем $32 x^{2}$ из $- 48 x^{2}$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 80 x^{2} - 3 + 8)$

Этап 7.12

Добавим $- 3$ и $8$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 80 x^{2} + 5)$

Этап 7.13

Развернем $(1 - 2 x + x^{2}) (- 80 x^{2} + 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$1 (- 80 x^{2}) + 1 \cdot 5 - 2 x (- 80 x^{2}) - 2 x \cdot 5 + x^{2} (- 80 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.1

Умножим $- 80 x^{2}$ на $1$ .

$- 80 x^{2} + 1 \cdot 5 - 2 x (- 80 x^{2}) - 2 x \cdot 5 + x^{2} (- 80 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.2

Умножим $5$ на $1$ .

$- 80 x^{2} + 5 - 2 x (- 80 x^{2}) - 2 x \cdot 5 + x^{2} (- 80 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 80 x^{2} + 5 - 2 \cdot - 80 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 5 + x^{2} (- 80 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 80 x^{2} + 5 - 2 \cdot - 80 (x^{2} x) - 2 x \cdot 5 + x^{2} (- 80 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 80 x^{2} + 5 - 2 \cdot - 80 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot 5 + x^{2} (- 80 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 80 x^{2} + 5 - 2 \cdot - 80 x^{2 + 1} - 2 x \cdot 5 + x^{2} (- 80 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 80 x^{2} + 5 - 2 \cdot - 80 x^{3} - 2 x \cdot 5 + x^{2} (- 80 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.5

Умножим $- 2$ на $- 80$ .

$- 80 x^{2} + 5 + 160 x^{3} - 2 x \cdot 5 + x^{2} (- 80 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.6

Умножим $5$ на $- 2$ .

$- 80 x^{2} + 5 + 160 x^{3} - 10 x + x^{2} (- 80 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 80 x^{2} + 5 + 160 x^{3} - 10 x - 80 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.8

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.8.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 80 x^{2} + 5 + 160 x^{3} - 10 x - 80 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 80 x^{2} + 5 + 160 x^{3} - 10 x - 80 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.8.3

Добавим $2$ и $2$ .

$- 80 x^{2} + 5 + 160 x^{3} - 10 x - 80 x^{4} + x^{2} \cdot 5$

Этап 7.14.9

Перенесем $5$ влево от $x^{2}$ .

$- 80 x^{2} + 5 + 160 x^{3} - 10 x - 80 x^{4} + 5 x^{2}$

Этап 7.15

Добавим $- 80 x^{2}$ и $5 x^{2}$ .

$- 75 x^{2} + 5 + 160 x^{3} - 10 x - 80 x^{4}$