Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2} + 8}{8 - x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 8$ и $g (x) = 8 - x$ .

$\frac{(8 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 8] - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(8 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + 0) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $8 - x$ .

$\frac{2 \cdot (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $8 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [- x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + 1 (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.9.2

Умножим $x^{2} + 8$ на $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \cdot 1}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $x^{2} + 8$ на $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x)) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- x^{2}) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{16 x - 2 x^{2} + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Добавим $- 2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{16 x - x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $16 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 16 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Этап 3.8

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Этап 3.10

Перепишем $- (x^{2} - 16 x - 8)$ в виде $- 1 (x^{2} - 16 x - 8)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Этап 3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} - 16 x - 8}{{(- x + 8)}^{2}}$