Математический анализ Примеры

$lim_{a \to 0} \frac{\ln (1 + a)}{a}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{a \to 0} \ln (1 + a)}{lim_{a \to 0} a}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{a \to 0} 1 + a)}{lim_{a \to 0} a}$

Этап 1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $a$ к $0$ .

$\frac{\ln (lim_{a \to 0} 1 + lim_{a \to 0} a)}{lim_{a \to 0} a}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $a$ к $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{a \to 0} a)}{lim_{a \to 0} a}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $a$ , подставив значение $0$ для $a$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{a \to 0} a}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{a \to 0} a}$

Этап 1.1.2.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 0} a}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $a$ , подставив значение $0$ для $a$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{a \to 0} \frac{\ln (1 + a)}{a} = lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d a} [\ln (1 + a)]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d a} [\ln (1 + a)]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ имеет вид $f' (g (a)) g' (a)$ , где $f (a) = \ln (a)$ и $g (a) = 1 + a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + a$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Этап 1.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + a$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $1 + a$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} (\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [a])}{\frac{d}{d a} [a]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $a$ , производная $1$ относительно $a$ равна $0$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} (0 + \frac{d}{d a} [a])}{\frac{d}{d a} [a]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \frac{d}{d a} [a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \cdot 1}{\frac{d}{d a} [a]}$

Этап 1.3.7

Умножим $\frac{1}{1 + a}$ на $1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a}}{\frac{d}{d a} [a]}$

Этап 1.3.8

Изменим порядок членов.

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{a + 1}}{\frac{d}{d a} [a]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{a + 1}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{a \to 0} \frac{1}{a + 1} \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $\frac{1}{a + 1}$ на $1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{1}{a + 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $a$ к $0$ .

$\frac{lim_{a \to 0} 1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Этап 2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $a$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $a$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + lim_{a \to 0} 1}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $a$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Этап 3

Найдем предел $a$ , подставив значение $0$ для $a$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 4.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$