Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{- \frac{3}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{3} - 2$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 x^{- \frac{3}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{3} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{- \frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{- \frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{- \frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{3}{2}$ .

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$3 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.8

Объединим $x^{- \frac{5}{2}}$ и $\frac{3}{2}$ .

$3 (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.10

Объединим $- 3$ и $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{- 3 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.11

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{- 9 x^{- \frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.12

Перенесем $x^{- \frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.8

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.10

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.11

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.12

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.13.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.13.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2} + 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2}$ и $0$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$