Математический анализ Примеры

$y = \sin (e^{x})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (e^{x}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$\cos (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\cos (e^{x}) e^{x}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\cos (e^{x}) e^{x}$ .

$e^{x} \cos (e^{x})$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = e^{x} \cos (e^{x})$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \cos (e^{x})$