Математический анализ Примеры

$y = \ln (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (9 x^{2} + 5 y^{2}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 5 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Этап 3.2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Этап 3.2.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$ .

$(18 x + 10 y y') \frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Этап 3.6.2

Умножим $18 x + 10 y y'$ на $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$ .

$\frac{18 x + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Этап 3.6.3

Вынесем множитель $2$ из $18 x + 10 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $18 x$ .

$\frac{2 (9 x) + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Этап 3.6.3.2

Вынесем множитель $2$ из $10 y y'$ .

$\frac{2 (9 x) + 2 (5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Этап 3.6.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (9 x) + 2 (5 y y')$ .

$\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $y' (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 y' x^{2} + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Этап 5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x + 5 y y')$

Этап 5.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x) + 2 (5 y y')$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Умножим $9$ на $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 2 (5 y y')$

Этап 5.2.2.1.3.2

Умножим $5$ на $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 (y y')$

Этап 5.2.2.1.3.3

Перенесем $y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 y' y$

Этап 5.2.2.1.3.4

Изменим порядок $18 x$ и $10 y' y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 10 y' y + 18 x$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $10 y' y$ из обеих частей уравнения.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $9 y' x^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $5 y' y^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) - 10 y' y = 18 x$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 10 y' y$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Этап 5.3.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2})$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Этап 5.3.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y)$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ на $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ на $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$