Математический анализ Примеры

$y = \csc (5 x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\csc (5 x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.1.2

Производная $\csc (u)$ по $u$ равна $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$- \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (5 x) \cot (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \cdot 1$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5 \csc (5 x) \cot (5 x)$

Этап 3.2.4.2

Изменим порядок множителей в $- 5 \csc (5 x) \cot (5 x)$ .

$- 5 \cot (5 x) \csc (5 x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 5 \cot (5 x) \csc (5 x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 5 \cot (5 x) \csc (5 x)$