Математический анализ Примеры

$y = x^{2} \sin^{4} (x) + x \cos^{- 3} (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \sin^{4} (x) + x \cos^{- 3} (x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} \sin^{4} (x) + x \cos^{- 3} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 3} (x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin^{4} (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 3} (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x)$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 3} (x)]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 3} (x)]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 3} (x)]$

Этап 3.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 3} (x)]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 3} (x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cos^{- 3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x \frac{d}{d x} [\cos^{- 3} (x)] + \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 3 {u_{2}}^{- 4} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 3 \cos^{- 4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 3 \cos^{- 4} (x) (- \sin (x))) + \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 3 \cos^{- 4} (x) (- \sin (x))) + \cos^{- 3} (x) \cdot 1$

Этап 3.3.5

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (3 \cos^{- 4} (x) \sin (x)) + \cos^{- 3} (x) \cdot 1$

Этап 3.3.6

Умножим $\cos^{- 3} (x)$ на $1$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (3 \cos^{- 4} (x) \sin (x)) + \cos^{- 3} (x)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (3 \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sin (x)) + \cos^{- 3} (x)$

Этап 3.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (3 \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sin (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Переведем $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ в $\sec^{4} (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (3 \sec^{4} (x) \sin (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.3.2

Переведем $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ в $\sec^{3} (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (3 \sec^{4} (x) \sin (x)) + \sec^{3} (x)$

Этап 3.4.4

Изменим порядок членов.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 3 x \sec^{4} (x) \sin (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 3.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 3 x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} \sin (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 3.4.5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 3 x \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} \sin (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 3.4.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 3 x \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sin (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 3.4.5.4

Умножим $3 x \frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.4.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + x \frac{3}{\cos^{4} (x)} \sin (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 3.4.5.4.2

Объединим $x$ и $\frac{3}{\cos^{4} (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{x \cdot 3}{\cos^{4} (x)} \sin (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 3.4.5.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 \cdot x}{\cos^{4} (x)} \sin (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 3.4.5.6

Объединим $\frac{3 x}{\cos^{4} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x \sin (x)}{\cos^{4} (x)} + \sec^{3} (x)$

Этап 3.4.5.7

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x \sin (x)}{\cos^{4} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{3}$

Этап 3.4.5.8

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x \sin (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{1^{3}}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.5.9

Единица в любой степени равна единице.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x \sin (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{4} (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x \sin (x)}{\cos (x) \cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.2

Разделим дроби.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{\cos^{3} (x)} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.4

Объединим $\frac{3 x}{\cos^{3} (x)}$ и $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x \tan (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.5

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{3} (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x \tan (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.6

Разделим дроби.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.7

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.8

Перепишем $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{\cos^{2} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.9.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.9.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.10

Умножим $\frac{3 x}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.10.1

Объединим $\tan (x)$ и $\frac{3 x}{\cos^{2} (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{\tan (x) (3 x)}{\cos^{2} (x)} \sec (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.10.2

Объединим $\frac{\tan (x) (3 x)}{\cos^{2} (x)}$ и $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{\tan (x) (3 x) \sec (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.11

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{\tan (x) (3 x) \sec (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.12

Разделим дроби.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(3 x) \sec (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.13

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(3 x) \sec (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.14

Перепишем $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(3 x) \sec (x)}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.15.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(3 x) \sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.15.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(3 x) \sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.16

Разделим дроби.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.17

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.18

Перепишем $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.19.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} (\sec (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.19.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} (\sec (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.19.3

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} (\sec^{1} (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.19.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.19.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} {\sec (x)}^{1 + 1} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.19.6

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.20

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.20.1

Перенесем $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.20.2

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.20.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.20.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.20.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{3 x}{1} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 3.4.6.21

Разделим $3 x$ на $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 3 x \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 3 x \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 3 x \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{3} (x)}$