Математический анализ Примеры

$y = \log_{2} (4 x^{3})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\log_{2} (4 x^{3}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{2} (x)$ и $g (x) = 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 3.1.2

Производная $\log_{2} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{3}$ .

$\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)}$ .

$\frac{4}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \ln (2)} (3 x^{2})$

Этап 3.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{3} \ln (2)}$ .

$\frac{3}{x^{3} \ln (2)} x^{2}$

Этап 3.2.4.2

Объединим $\frac{3}{x^{3} \ln (2)}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (2)}$

Этап 3.2.4.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \ln (2)}$

Этап 3.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} \ln (2)$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \ln (2))}$

Этап 3.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \ln (2))}$

Этап 3.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{x \ln (2)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3}{x \ln (2)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x \ln (2)}$