Математический анализ Примеры

$y = \ln ({(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln ({(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} \frac{d}{d x} [{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (4 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5 x^{5} + 4}]$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (4 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5 x^{5} + 4}]))$

Этап 3.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 5 x^{5} + 4$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{(5 x^{5} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 4]}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{(5 x^{5} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 4]}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.5.2

Перенесем $2$ влево от $5 x^{5} + 4$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 \cdot (5 x^{5} + 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 4]}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.5.3

По правилу суммы производная $5 x^{5} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.5.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{5}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.5.6

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (25 x^{4} + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.5.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (25 x^{4} + 0)}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.5.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1

Добавим $25 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (25 x^{4})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.5.8.2

Умножим $25$ на $- 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{2} x^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 (x^{4} x^{2})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{4 + 2}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.6.3

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

Этап 3.7

Объединим $\frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}}$ и $16$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (\frac{(2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}) \cdot 16}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

Этап 3.8

Перенесем $16$ влево от $2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}$ .

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (\frac{16 \cdot (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим правило умножения к $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ .

$\frac{1}{\frac{{(4 x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

Этап 3.9.2

Применим правило умножения к $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

Этап 3.9.3

Применим правило умножения к $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ .

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(4 x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.4

Применим правило умножения к $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 ((2 (5 x^{5}) + 2 \cdot 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x + 2 \cdot 4 x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$\frac{1}{\frac{256 {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{256 x^{2 \cdot 4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{\frac{256 x^{8}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{256 x^{8}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}$ .

$1 \frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.4

Умножим $\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}}$ на $1$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.5

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 x^{5} x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 (x^{1} x^{5})) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 x^{1 + 5}) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.8

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 x^{6}) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.9

Умножим $10$ на $16$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.10

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 16 (8 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.11

Умножим $8$ на $16$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 128 x + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.12

Умножим $- 25$ на $16$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 128 x - 400 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.13

Вычтем $400 x^{6}$ из $160 x^{6}$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.14

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{64 {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.15

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.15.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{64 x^{2 \cdot 3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.15.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{64 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

Этап 3.9.8.16

Умножим $\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}}$ на $\frac{64 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}}$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{(- 240 x^{6} + 128 x) (64 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2} {(5 x^{5} + 4)}^{3}}$

Этап 3.9.8.17

Умножим ${(5 x^{5} + 4)}^{2}$ на ${(5 x^{5} + 4)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.17.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{(- 240 x^{6} + 128 x) (64 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2 + 3}}$

Этап 3.9.8.17.2

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{(- 240 x^{6} + 128 x) (64 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Этап 3.9.8.18

Перенесем $64$ влево от $- 240 x^{6} + 128 x$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{64 \cdot (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Этап 3.9.8.19

Умножим $\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}}$ на $\frac{64 (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{5}}$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} (64 (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Этап 3.9.8.20

Перенесем $64$ влево от ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ .

$\frac{64 \cdot {(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Этап 3.9.8.21

Сократим общий множитель $64$ и $256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.21.1

Вынесем множитель $64$ из $64 {(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}$ .

$\frac{64 (({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6})}{256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Этап 3.9.8.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.21.2.1

Вынесем множитель $64$ из $256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}$ .

$\frac{64 (({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6})}{64 (4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5})}$

Этап 3.9.8.21.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{64 (({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6})}{64 (4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5})}$

Этап 3.9.8.21.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6}}{4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Этап 3.9.8.22

Сократим общий множитель ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ и ${(5 x^{5} + 4)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.22.1

Вынесем множитель ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ из $({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6}$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} ((- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

Этап 3.9.8.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.22.2.1

Вынесем множитель ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ из $4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}$ .

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} ((- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{4} (4 x^{8} (5 x^{5} + 4))}$

Этап 3.9.8.22.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} ((- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{4} (4 x^{8} (5 x^{5} + 4))}$

Этап 3.9.8.22.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{4 x^{8} (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.8.23

Сократим общий множитель $x^{6}$ и $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.23.1

Вынесем множитель $x^{6}$ из $(- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}$ .

$\frac{x^{6} ((- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6})}{4 x^{8} (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.8.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.23.2.1

Вынесем множитель $x^{6}$ из $4 x^{8} (5 x^{5} + 4)$ .

$\frac{x^{6} ((- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6})}{x^{6} (4 x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

Этап 3.9.8.23.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{6} ((- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6})}{x^{6} (4 x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

Этап 3.9.8.23.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6}}{4 x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.8.24

Сократим общий множитель $- 240 + 128 x^{- 5}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.24.1

Вынесем множитель $4$ из $(- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6}$ .

$\frac{4 ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6})}{4 x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.8.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.24.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} (5 x^{5} + 4)$ .

$\frac{4 ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6})}{4 (x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

Этап 3.9.8.24.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6})}{4 (x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

Этап 3.9.8.24.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6}}{x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.8.25

Сократим общий множитель $x^{6}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.25.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $(- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6}$ .

$\frac{x^{2} ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{4})}{x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.8.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.8.25.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{4})}{x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.8.25.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 60 + 32 x^{- 5}) x^{4}}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.9

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{4} (- 60 + 32 x^{- 5})}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.10.1

Вынесем множитель $4$ из $- 60 + 32 x^{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.10.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 60$ .

$\frac{x^{4} (4 (- 15) + 32 x^{- 5})}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.1.2

Вынесем множитель $4$ из $32 x^{- 5}$ .

$\frac{x^{4} (4 (- 15) + 4 (8 x^{- 5}))}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 15) + 4 (8 x^{- 5})$ .

$\frac{x^{4} (4 (- 15 + 8 x^{- 5}))}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{4} (4 (- 15 + 8 \frac{1}{x^{5}}))}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.3

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 4 (- 15 + \frac{8}{x^{5}})}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.4

Чтобы записать $- 15$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 4 (- 15 \cdot \frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{8}{x^{5}})}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.5

Объединим $- 15$ и $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 4 (\frac{- 15 x^{5}}{x^{5}} + \frac{8}{x^{5}})}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{4} \cdot 4 \frac{- 15 x^{5} + 8}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.10.7.1

Объединим $x^{4}$ и $\frac{- 15 x^{5} + 8}{x^{5}}$ .

$\frac{4 \frac{x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.7.2

Объединим $4$ и $\frac{x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{4 (x^{4} (- 15 x^{5} + 8))}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.8

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{\frac{4 x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.9

Сократим выражение $\frac{4 x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.10.9.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $4 x^{4} (- 15 x^{5} + 8)$ .

$\frac{\frac{x^{4} (4 (- 15 x^{5} + 8))}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.9.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x^{4} (4 (- 15 x^{5} + 8))}{x^{4} x}}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x^{4} (4 (- 15 x^{5} + 8))}{x^{4} x}}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.10.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x}}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.11

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x} \cdot \frac{1}{5 x^{5} + 4}$

Этап 3.9.12

Умножим $\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x}$ на $\frac{1}{5 x^{5} + 4}$ .

$\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- 15 x^{5}$ .

$\frac{4 (- (15 x^{5}) + 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.14

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$\frac{4 (- (15 x^{5}) - 1 (- 8))}{x (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.15

Вынесем множитель $- 1$ из $- (15 x^{5}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{4 (- (15 x^{5} - 8))}{x (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.16

Перепишем $- (15 x^{5} - 8)$ в виде $- 1 (15 x^{5} - 8)$ .

$\frac{4 (- 1 (15 x^{5} - 8))}{x (5 x^{5} + 4)}$

Этап 3.9.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 (15 x^{5} - 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{4 (15 x^{5} - 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (15 x^{5} - 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$