Математический анализ Примеры

$y = 3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Этап 3.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{x^{4}}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Этап 3.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Этап 3.3.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Этап 3.3.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Этап 3.3.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Этап 3.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{3 - 8})$

Этап 3.3.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 5})$

Этап 3.3.8

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$\frac{3}{x} + 20 x^{- 5}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{x} + 20 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 3.4.2

Объединим $20$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$