Математический анализ Примеры

$y = \frac{x + y}{x - y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + y$ и $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.7

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1

Развернем $(x - y) (1 + y')$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.2.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.3

Развернем $(- x - y) (1 - y')$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.4.2

Умножим $- x (- y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.4.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.4.4

Умножим $- y (- y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.1.4.4.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.2

Объединим противоположные члены в $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.2.2

Добавим $x y' - y - y y'$ и $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.2.3

Добавим $- y y'$ и $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.2.4

Добавим $x y' - y + x y' - y$ и $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.3

Добавим $x y'$ и $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.2.4

Вычтем $y$ из $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x y' - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 3.8.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на ${(x - y)}^{2}$ .

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель ${(x - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

Этап 5.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

Этап 5.2.1.3.2

Перенесем $x$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вычтем $2 y' x$ из обеих частей уравнения.

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Перепишем ${(x - y)}^{2}$ в виде $(x - y) (x - y)$ .

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.2

Развернем $(x - y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.3.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1.4.1

Перенесем $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.3.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.3.1.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.3.2

Вычтем $y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.2.1

Перенесем $y$ .

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.3.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.1.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Этап 5.3.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Этап 5.3.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Этап 5.3.2.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Этап 5.3.2.7

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ на $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ на $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$