Математический анализ Примеры

$x + y - 1 = \ln (x^{2} + y^{2})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x + y - 1) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x + y - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + y' + 0$

Этап 2.5

Добавим $1 + y'$ и $0$ .

$1 + y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 3.5.2

Умножим $2 x + 2 y y'$ на $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 3.5.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 + y' = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $x^{2} + y^{2}$ .

$(1 + y') (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Развернем $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (x^{2} + y^{2}) + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.1.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$x^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2.2.2

Перенесем $x^{2}$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 (x + y y')$

Этап 5.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 (y y')$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Перенесем $y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y' y$

Этап 5.2.2.1.3.2

Изменим порядок $2 x$ и $2 y' y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 y' y + 2 x$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $2 y' y$ из обеих частей уравнения.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x$

Этап 5.3.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2}$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y' y$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2}) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ на $x^{2} + y^{2} - 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ на $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.4.3.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 x - x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.4.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$