Математический анализ Примеры

$x - \cos (7 y) = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x - \cos (7 y)) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x - \cos (7 y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (7 y)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (7 y)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\cos (7 y)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 7 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [7 y])$

Этап 2.2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$1 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [7 y])$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 y$ .

$1 - (- \sin (7 y) \frac{d}{d x} [7 y])$

Этап 2.2.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 y$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - (- \sin (7 y) (7 \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - (- \sin (7 y) (7 y'))$

Этап 2.2.5

Умножим $7$ на $- 1$ .

$1 - (- 7 \sin (7 y) y')$

Этап 2.2.6

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$1 + 7 \sin (7 y) y'$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$7 \sin (7 y) y' + 1$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$7 \sin (7 y) y' + 1 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $7 \sin (7 y) y' + 1$ .

$7 y' \sin (7 y) + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$7 y' \sin (7 y) = - 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $7 y' \sin (7 y) = - 1$ на $7 \sin (7 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $7 y' \sin (7 y) = - 1$ на $7 \sin (7 y)$ .

$\frac{7 y' \sin (7 y)}{7 \sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 y' \sin (7 y)}{7 \sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \sin (7 y)}{\sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $\sin (7 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \sin (7 y)}{\sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим дроби.

$y' = \frac{- 1}{7} \cdot \frac{1}{\sin (7 y)}$

Этап 5.3.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (7 y)}$ в $\csc (7 y)$ .

$y' = \frac{- 1}{7} \csc (7 y)$

Этап 5.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{7} \csc (7 y)$

Этап 5.3.3.4

Объединим $\csc (7 y)$ и $\frac{1}{7}$ .

$y' = - \frac{\csc (7 y)}{7}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (7 y)}{7}$