Математический анализ Примеры

$\cot (y) = 4 x - 5 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (4 x - 5 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x - 5 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 3.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 y$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 - 5 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \csc^{2} (y) y' = 4 - 5 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- \csc^{2} (y) y'$ .

$- y' \csc^{2} (y) = 4 - 5 y'$

Этап 5.2

Добавим $5 y'$ к обеим частям уравнения.

$- y' \csc^{2} (y) + 5 y' = 4$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \csc^{2} (y) + 5 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \csc^{2} (y)$ .

$y' (- 1 \csc^{2} (y)) + 5 y' = 4$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $5 y'$ .

$y' (- 1 \csc^{2} (y)) + y' \cdot 5 = 4$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 \csc^{2} (y)) + y' \cdot 5$ .

$y' (- 1 \csc^{2} (y) + 5) = 4$

Этап 5.4

Перепишем $- 1 \csc^{2} (y)$ в виде $- \csc^{2} (y)$ .

$y' (- \csc^{2} (y) + 5) = 4$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (- \csc^{2} (y) + 5) = 4$ на $- \csc^{2} (y) + 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (- \csc^{2} (y) + 5) = 4$ на $- \csc^{2} (y) + 5$ .

$\frac{y' (- \csc^{2} (y) + 5)}{- \csc^{2} (y) + 5} = \frac{4}{- \csc^{2} (y) + 5}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $- \csc^{2} (y) + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- \csc^{2} (y) + 5)}{- \csc^{2} (y) + 5} = \frac{4}{- \csc^{2} (y) + 5}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4}{- \csc^{2} (y) + 5}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc^{2} (y)$ .

$y' = \frac{4}{- (\csc^{2} (y)) + 5}$

Этап 5.5.3.2

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{4}{- (\csc^{2} (y)) - 1 (- 5)}$

Этап 5.5.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\csc^{2} (y)) - 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{4}{- (\csc^{2} (y) - 5)}$

Этап 5.5.3.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.4.1

Перепишем $- (\csc^{2} (y) - 5)$ в виде $- 1 (\csc^{2} (y) - 5)$ .

$y' = \frac{4}{- 1 (\csc^{2} (y) - 5)}$

Этап 5.5.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4}{\csc^{2} (y) - 5}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{\csc^{2} (y) - 5}$