Математический анализ Примеры

$\arctan (x + y) = y^{2} + \frac{π}{4}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} + \frac{π}{4})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $y^{2} + \frac{π}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 y y' + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $2 y y'$ и $0$ .

$2 y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$(1 + y') (\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}) = 2 y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Этап 5.1.3

Умножим $1 + y'$ на $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 y y'$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} - 2 y y' = 0$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{1 + y'}{1 + (x + y) (x + y)} - 2 y y' = 0$

Этап 5.2.2.2

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + y'}{1 + x (x + y) + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Этап 5.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Этап 5.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Этап 5.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Этап 5.2.2.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Этап 5.2.2.3.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Этап 5.2.2.3.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Этап 5.2.3

Чтобы записать $- 2 y y'$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' \cdot \frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.2.4

Объединим $- 2 y y'$ и $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} + \frac{- 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + y' - 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + y' - 2 y y' \cdot 1 - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.2.6.2.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 (y \cdot y) y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.2.6.2.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.2.6.2.3

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.3.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.2.6.2.3.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y^{1}) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.2.6.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{2 + 1} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.2.6.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.2.6.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Этап 5.3

Приравняем числитель к нулю.

$1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = 0$

Этап 5.4

Решим уравнение относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y' x^{2}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Этап 5.4.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 y^{2} y' x$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) - 2 y^{3} y' = - 1$

Этап 5.4.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y^{3} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Этап 5.4.2.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Этап 5.4.2.7

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2})$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Этап 5.4.2.8

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Этап 5.4.2.9

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ на $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ на $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$