Математический анализ Примеры

$\cos (x) + \sqrt{y} = 9$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 9$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (9)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Этап 3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Этап 3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Этап 3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Этап 3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Этап 3.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Этап 3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Этап 3.3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin (x) + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Этап 3.3.9

Объединим $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $y'$ .

$- \sin (x) + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Этап 3.3.10

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \sin (x)$

Этап 4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \sin (x) = 0$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $\sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \sin (x)$

Этап 6.2

Умножим обе части на $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.1.1.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим $\sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = 2 \sin (x) y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2.1.2

Изменим порядок множителей в $2 \sin (x) y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 2 y^{\frac{1}{2}} \sin (x)$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 y^{\frac{1}{2}} \sin (x)$