Математический анализ Примеры

$\ln (y) = e^{y} \sin (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (x))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{y}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) e^{y} y'$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{y} = e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $(e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$ .

$y' = y e^{y} \cos (x) + y' y e^{y} \sin (x)$

Этап 5.2.2.1.2.2

Изменим порядок $y e^{y} \cos (x)$ и $y' y e^{y} \sin (x)$ .

$y' = y' y e^{y} \sin (x) + y e^{y} \cos (x)$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y' y e^{y} \sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$y' - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' - y' y e^{y} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' y e^{y} \sin (x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x))$ .

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Этап 5.3.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ на $1 - y e^{y} \sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ на $1 - y e^{y} \sin (x)$ .

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - y e^{y} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Этап 5.3.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$