Математический анализ Примеры

$\ln (x y) - y^{2} = 5$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) - y^{2}) = \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\ln (x y) - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (2 y y')$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - 2 y y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Этап 2.4.2.2

Объединим $\frac{x}{x y}$ и $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Этап 2.4.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Этап 2.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Этап 2.4.2.4

Объединим $\frac{1}{x y}$ и $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} - 2 y y'$

Этап 2.4.2.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} - 2 y y'$

Этап 2.4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - 2 y y'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Этап 3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, y, x, 1$

Этап 5.1.2

Since $1, y, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Этап 5.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.1.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 5.1.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.8

НОК $y^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y x$

Этап 5.2

Каждый член в $- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ умножим на $y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ на $y x$ .

$- 2 y y' (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Перенесем $y$ .

$- 2 (y \cdot y) y' x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- 2 y^{2} y' x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$- 2 y^{2} y' x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 y^{2} y' x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 y^{2} y' x + y' x + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $y x$ .

$- 2 y^{2} y' x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$- 2 y^{2} y' x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- 2 y^{2} y' x + y' x + y = 0 (y x)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $0 (y x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Умножим $y$ на $0$ .

$- 2 y^{2} y' x + y' x + y = 0 x$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$- 2 y^{2} y' x + y' x + y = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y^{2} y' x + y' x = - y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y' x$ из $- 2 y^{2} y' x + y' x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y' x$ из $- 2 y^{2} y' x$ .

$y' x (- 2 y^{2}) + y' x = - y$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x$ .

$y' x (- 2 y^{2}) + y' x \cdot 1 = - y$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x (- 2 y^{2}) + y' x \cdot 1$ .

$y' x (- 2 y^{2} + 1) = - y$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y' x (- 2 y^{2} + 1) = - y$ на $x (- 2 y^{2} + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y' x (- 2 y^{2} + 1) = - y$ на $x (- 2 y^{2} + 1)$ .

$\frac{y' x (- 2 y^{2} + 1)}{x (- 2 y^{2} + 1)} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x (- 2 y^{2} + 1)}{x (- 2 y^{2} + 1)} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- 2 y^{2} + 1)}{- 2 y^{2} + 1} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2 y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 2 y^{2} + 1)}{- 2 y^{2} + 1} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y^{2}$ .

$y' = - \frac{y}{x (- (2 y^{2}) + 1)}$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{y}{x (- (2 y^{2}) - 1 (- 1))}$

Этап 5.3.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y^{2}) - 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{y}{x (- (2 y^{2} - 1))}$

Этап 5.3.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.1

Перепишем $- (2 y^{2} - 1)$ в виде $- 1 (2 y^{2} - 1)$ .

$y' = - \frac{y}{x (- 1 (2 y^{2} - 1))}$

Этап 5.3.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - - \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = 1 \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.4

Умножим $\frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$