Математический анализ Примеры

$y = e^{- 5 x^{9}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- 5 x^{9}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 5 x^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 5 x^{9}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x^{9}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x^{9}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x^{9}$ .

$e^{- 5 x^{9}} \frac{d}{d x} [- 5 x^{9}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{9}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$e^{- 5 x^{9}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$e^{- 5 x^{9}} (- 5 (9 x^{8}))$

Этап 3.2.3

Умножим $9$ на $- 5$ .

$e^{- 5 x^{9}} (- 45 x^{8})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Изменим порядок множителей в $e^{- 5 x^{9}} (- 45 x^{8})$ .

$- 45 e^{- 5 x^{9}} x^{8}$

Этап 3.3.2

Изменим порядок множителей в $- 45 e^{- 5 x^{9}} x^{8}$ .

$- 45 x^{8} e^{- 5 x^{9}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 45 x^{8} e^{- 5 x^{9}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 45 x^{8} e^{- 5 x^{9}}$