Математический анализ Примеры

$y = \cos (\sqrt{6 t + 12})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 t + 12}$ в виде ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \cos ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cos ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 t + 12$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 t + 12$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Этап 4.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Этап 4.7.3

Перенесем ${(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

Этап 4.7.4

Объединим $\frac{1}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ и $\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 12]$

Этап 4.8

По правилу суммы производная $6 t + 12$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [12]$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [12])$

Этап 4.9

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6 t$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [12])$

Этап 4.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [12])$

Этап 4.11

Умножим $6$ на $1$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d t} [12])$

Этап 4.12

Поскольку $12$ является константой относительно $t$ , производная $12$ относительно $t$ равна $0$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

Этап 4.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Добавим $6$ и $0$ .

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

Этап 4.13.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.3

Объединим $- 6$ и $\frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 6 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13.4

Вынесем множитель $2$ из $- 6 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$