Математический анализ Примеры

${(6 x - y)}^{2} - 5 y = 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(6 x - y)}^{2} - 5 y) = \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(6 x - y)}^{2}$ в виде $(6 x - y) (6 x - y)$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x - y) (6 x - y) - 5 y]$

Этап 2.2

Развернем $(6 x - y) (6 x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x - y) - y (6 x - y) - 5 y]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x (- y) - y (6 x - y) - 5 y]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Этап 2.3.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Этап 2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 \cdot - 1 x y - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Этап 2.3.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

Этап 2.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 1 \cdot 6 y x - y (- y) - 5 y]$

Этап 2.3.1.7

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - y (- y) - 5 y]$

Этап 2.3.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y - 5 y]$

Этап 2.3.1.9

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - 5 y]$

Этап 2.3.1.9.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 y^{2} - 5 y]$

Этап 2.3.1.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x + 1 y^{2} - 5 y]$

Этап 2.3.1.11

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x + y^{2} - 5 y]$

Этап 2.3.2

Вычтем $6 y x$ из $- 6 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 x y + y^{2} - 5 y]$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $6 x y$ из $- 6 x y$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 12 x y + y^{2} - 5 y]$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $36 x^{2} - 12 x y + y^{2} - 5 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x^{2}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.5.3

Умножим $2$ на $36$ .

$72 x + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x y$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$72 x - 12 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$72 x - 12 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.6.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$72 x - 12 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$72 x - 12 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.6.5

Умножим $y$ на $1$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.7.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.7.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.7.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 y$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.8.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' - 5 y'$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x - 12 (x y') - 12 y + 2 y y' - 5 y'$

Этап 2.9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$72 x - 12 x y' - 12 y + 2 y y' - 5 y'$

Этап 2.9.3

Изменим порядок членов.

$- 12 x y' + 2 y y' + 72 x - 12 y - 5 y'$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 12 x y' + 2 y y' + 72 x - 12 y - 5 y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $72 x$ из обеих частей уравнения.

$- 12 x y' + 2 y y' - 12 y - 5 y' = - 72 x$

Этап 5.1.2

Добавим $12 y$ к обеим частям уравнения.

$- 12 x y' + 2 y y' - 5 y' = - 72 x + 12 y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 12 x y' + 2 y y' - 5 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 12 x y'$ .

$y' (- 12 x) + 2 y y' - 5 y' = - 72 x + 12 y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (- 12 x) + y' (2 y) - 5 y' = - 72 x + 12 y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 5 y'$ .

$y' (- 12 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = - 72 x + 12 y$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 12 x) + y' (2 y)$ .

$y' (- 12 x + 2 y) + y' \cdot - 5 = - 72 x + 12 y$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 12 x + 2 y) + y' \cdot - 5$ .

$y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$ на $- 12 x + 2 y - 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$ на $- 12 x + 2 y - 5$ .

$\frac{y' (- 12 x + 2 y - 5)}{- 12 x + 2 y - 5} = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12 x + 2 y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 12 x + 2 y - 5)}{- 12 x + 2 y - 5} = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 72 x + 12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $12$ из $- 72 x + 12 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $12$ из $- 72 x$ .

$y' = \frac{12 (- 6 x) + 12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $12$ из $12 y$ .

$y' = \frac{12 (- 6 x) + 12 (y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (- 6 x) + 12 (y)$ .

$y' = \frac{12 (- 6 x + y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 x$ .

$y' = \frac{12 (- (6 x) + y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{12 (- (6 x) - 1 (- y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{12 (- (6 x - y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

Этап 5.3.3.6

Перепишем $- (6 x - y)$ в виде $- 1 (6 x - y)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

Этап 5.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 12 x$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x) + 2 y - 5}$

Этап 5.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x) - (- 2 y) - 5}$

Этап 5.3.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (12 x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y) - 5}$

Этап 5.3.3.10

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y) - 1 (5)}$

Этап 5.3.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (12 x - 2 y) - 1 (5)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y + 5)}$

Этап 5.3.3.12

Перепишем $- (12 x - 2 y + 5)$ в виде $- 1 (12 x - 2 y + 5)$ .

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 1 (12 x - 2 y + 5)}$

Этап 5.3.3.13

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 1 (12 x - 2 y + 5)}$

Этап 5.3.3.14

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{12 (6 x - y)}{12 x - 2 y + 5}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 (6 x - y)}{12 x - 2 y + 5}$