Математический анализ Примеры

$\sqrt{x y} = x - 4 y$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x y}$ в виде ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x y)}^{\frac{1}{2}} = x - 4 y$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(x y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - 4 y)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.6.3

Перенесем ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.8

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y \cdot 1)$

Этап 3.10

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y)$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим правило умножения к $x y$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y' + y)$

Этап 3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y') + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Этап 3.11.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} y' + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Этап 3.11.3.2

Объединим $\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ и $y'$ .

$\frac{x y'}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Этап 3.11.3.3

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x y' x^{- \frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Этап 3.11.3.4

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.4.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Этап 3.11.3.4.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Этап 3.11.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Этап 3.11.3.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Этап 3.11.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Этап 3.11.3.4.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Этап 3.11.3.5

Объединим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ и $y$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.11.3.6

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.11.3.7

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.7.1

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.7.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.11.3.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.11.3.7.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.11.3.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.11.3.7.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $x - 4 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - 4 y'$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1 - 4 y'$

Этап 6

Решим относительно $y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 + 4 y'$ .

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 + 4 y' = 0$

Этап 6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1, 1, 1$

Этап 6.2.2

Since $2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, x^{\frac{1}{2}}$ .

Этап 6.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 6.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 6.2.6

НОК $2, 2, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 6.2.7

НОК $y^{\frac{1}{2}}, x^{\frac{1}{2}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.8

НОК $2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1, 1, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3

Каждый член в $\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 + 4 y' = 0$ умножим на $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член $\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 + 4 y' = 0$ на $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 6.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $y^{\frac{1}{2}}$ из $y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

Этап 6.3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y' x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.4

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.4.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y' x^{\frac{2}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.4.5

Разделим $2$ на $2$ .

$y' x^{1} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.5

Упростим $y' x^{1}$ .

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' x + 2 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

Этап 6.3.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.8

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.8.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

Этап 6.3.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$y' x + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.9

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $y^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.9.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' x + y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' x + y^{\frac{1 + 1}{2}} - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.9.3

Добавим $1$ и $1$ .

$y' x + y^{\frac{2}{2}} - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.9.4

Разделим $2$ на $2$ .

$y' x + y^{1} - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.10

Упростим $y^{1}$ .

$y' x + y - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y' x + y - 2 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.2.1.12

Умножим $2$ на $4$ .

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.3.1.2

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $0$ .

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3.1.3

Умножим $0$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 6.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Найдем общий множитель $y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ , который присутствует в каждом члене.

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.4.2

Подставим $u$ вместо $y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 (u) = 0$

Этап 6.4.3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Перенесем все члены без $u$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.1

Вычтем $y' x$ из обеих частей уравнения.

$y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 u = - y' x$

Этап 6.4.3.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 u = - y' x - y$

Этап 6.4.3.1.3

Добавим $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ к обеим частям уравнения.

$8 u = - y' x - y + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.4.3.2

Разделим каждый член $8 u = - y' x - y + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Разделим каждый член $8 u = - y' x - y + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ на $8$ .

$\frac{8 u}{8} = \frac{- y' x}{8} + \frac{- y}{8} + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{8}$

Этап 6.4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 u}{8} = \frac{- y' x}{8} + \frac{- y}{8} + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{8}$

Этап 6.4.3.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- y' x}{8} + \frac{- y}{8} + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{8}$

Этап 6.4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{y' x}{8} + \frac{- y}{8} + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{8}$

Этап 6.4.3.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{8}$

Этап 6.4.3.2.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$u = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{2 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{8}$

Этап 6.4.3.2.3.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$u = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{2 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 4}$

Этап 6.4.3.2.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$u = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{2 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 4}$

Этап 6.4.3.2.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$u = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Этап 6.4.4

Подставим $y'$ вместо $u$ .

$y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y' (x)}{8} - \frac{y}{8} + \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{4}$