Математический анализ Примеры

$x^{3} - x^{2} - x y = 4$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - x^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - x^{2} - x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} - 2 x - \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 2 x - (x y') - y$

Этап 2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 x^{2} - 2 x - x y' - y$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - x y' - 2 x - y$

Этап 3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} - x y' - 2 x - y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- x y' - 2 x - y = - 3 x^{2}$

Этап 5.1.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$- x y' - y = - 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.1.3

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$ на $- x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$ на $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x)}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 3 x}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (- 3 x) + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (- 3 x)$ в виде $- (- 3 x)$ .

$y' = - (- 3 x) + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y' = 3 x + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.3.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y' = 3 x + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y' = 3 x + \frac{2}{- 1} + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.3.1.4.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2}{- 1}$ .

$y' = 3 x - 1 \cdot 2 + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y' = 3 x - 2 + \frac{y}{- x}$

Этап 5.2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = 3 x - 2 - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x - 2 - \frac{y}{x}$