Математический анализ Примеры

$\int x^{11} e^{x^{12}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ в виде ${u_{1}}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $10$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{10}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int {u_{1}}^{\frac{5}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{12}$ в виде ${u_{1}}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $12$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{12}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{1}}^{5}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{5}}{2} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

Этап 2.4

Объединим $\frac{{u_{1}}^{5}}{2}$ и $e^{{u_{1}}^{6}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}}}{2} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {\sqrt{u_{2}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ в виде ${u_{2}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.2

Перепишем ${\sqrt{u_{2}}}^{6}$ в виде ${u_{2}}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.2.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Этап 5.4

Объединим $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ и $e^{{u_{2}}^{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}}}{2} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

Этап 8

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{3}$ . Тогда $d u_{3} = 3 {u_{2}}^{2} d u_{2}$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{3} = {u_{2}}^{2} d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}]$

Этап 8.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {u_{2}}^{2}$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\frac{1}{4} \int e^{u_{3}} \frac{1}{3} d u_{3}$

Этап 9

Объединим $e^{u_{3}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{3}}}{3} d u_{3}$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{1}{12} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 12

Интеграл $e^{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $e^{u_{3}}$ .

$\frac{1}{12} (e^{u_{3}} + C)$

Этап 13

Упростим.

$\frac{1}{12} e^{u_{3}} + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{12} e^{{u_{2}}^{3}} + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{12} e^{{({u_{1}}^{2})}^{3}} + C$

Этап 14.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{12} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{3}} + C$