Математический анализ Примеры

$x^{3} - 3 a x y + y^{3} = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d a} (x^{3} - 3 a x y + y^{3}) = \frac{d}{d a} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 3 a x y + y^{3}$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- 3 a x y] + \frac{d}{d a} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- 3 a x y] + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $x^{3}$ является константой относительно $a$ , производная $x^{3}$ относительно $a$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [- 3 a x y] + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d a} [- 3 a x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3 x$ является константой относительно $a$ , производная $- 3 a x y$ по $a$ равна $- 3 x \frac{d}{d a} [a y]$ .

$0 - 3 x \frac{d}{d a} [a y] + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [f (a) g (a)]$ имеет вид $f (a) \frac{d}{d a} [g (a)] + g (a) \frac{d}{d a} [f (a)]$ , где $f (a) = a$ и $g (a) = y$ .

$0 - 3 x (a \frac{d}{d a} [y] + y \frac{d}{d a} [a]) + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d a} [y]$ в виде $y'$ .

$0 - 3 x (a y' + y \frac{d}{d a} [a]) + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 x (a y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$0 - 3 x (a y' + y) + \frac{d}{d a} [y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d a} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ имеет вид $f' (g (a)) g' (a)$ , где $f (a) = a^{3}$ и $g (a) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$0 - 3 x (a y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d a} [y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - 3 x (a y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d a} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$0 - 3 x (a y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d a} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d a} [y]$ в виде $y'$ .

$0 - 3 x (a y' + y) + 3 y^{2} y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 - 3 x (a y') - 3 x y + 3 y^{2} y'$

Этап 2.4.2

Вычтем $- (- 3 x a y' - 3 x y)$ из $0$ .

$- 3 x a y' - 3 x y + 3 y^{2} y'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$- 3 a x y' - 3 x y + 3 y^{2} y'$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $a$ , производная $0$ относительно $a$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 3 a x y' - 3 x y + 3 y^{2} y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $3 x y$ к обеим частям уравнения.

$- 3 a x y' + 3 y^{2} y' = 3 x y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 3 a x y' + 3 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 3 a x y'$ .

$3 y' (- a x) + 3 y^{2} y' = 3 x y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y' (- a x) + 3 y' y^{2} = 3 x y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' (- a x) + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (- a x + y^{2}) = 3 x y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 y' (- a x + y^{2}) = 3 x y$ на $3 (- a x + y^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 y' (- a x + y^{2}) = 3 x y$ на $3 (- a x + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (- a x + y^{2})}{3 (- a x + y^{2})} = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (- a x + y^{2})}{3 (- a x + y^{2})} = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- a x + y^{2})}{- a x + y^{2}} = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $- a x + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- a x + y^{2})}{- a x + y^{2}} = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 x y}{3 (- a x + y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x y}{- a x + y^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- a x$ .

$y' = \frac{x y}{- (a x) + y^{2}}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{x y}{- (a x) - 1 (- y^{2})}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a x) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{x y}{- (a x - y^{2})}$

Этап 5.3.3.5

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перепишем $- (a x - y^{2})$ в виде $- 1 (a x - y^{2})$ .

$y' = \frac{x y}{- 1 (a x - y^{2})}$

Этап 5.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x y}{a x - y^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d a}$ .

$\frac{d y}{d a} = - \frac{x y}{a x - y^{2}}$