Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Этап 1.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Этап 1.1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + 6 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 12 \cdot 1$

Этап 1.2.2.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 12$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x + 12$ .

$2 x + 12$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x + 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$2 x + 12 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 12$

Этап 2.3

Разделим каждый член $2 x = - 12$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 x = - 12$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 12}{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 12}{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 12}{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 12$ на $2$ .

$x = - 6$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 6$ в $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot {(- 6)}^{3} + 6 {(- 6)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot - 216 + 6 {(- 6)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 216$ .

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 72)) + 6 {(- 6)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 72) + 6 {(- 6)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 6) = - 72 + 6 {(- 6)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f (- 6) = - 72 + 6 \cdot 36$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $6$ на $36$ .

$f (- 6) = - 72 + 216$

Этап 3.1.2.2

Добавим $- 72$ и $216$ .

$f (- 6) = 144$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $144$ .

$144$

Этап 3.2

Подставляя $- 6$ в $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ , найдем точку $(- 6, 144)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 6, 144)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 6)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 2 (- 6.1) + 12$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = - 12.2 + 12$

Этап 5.2.2

Добавим $- 12.2$ и $12$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.2$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 0.2$ .

$- 0.2$

Этап 5.3

При $- 6.1$ вторая производная имеет вид $- 0.2$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 6)$ .

Убывание на $(- \infty, - 6)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 6, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5.9$ .

$f'' (- 5.9) = 2 (- 5.9) + 12$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $- 5.9$ .

$f'' (- 5.9) = - 11.8 + 12$

Этап 6.2.2

Добавим $- 11.8$ и $12$ .

$f'' (- 5.9) = 0.2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.2$ .

$0.2$

Этап 6.3

При $- 5.9$ вторая производная имеет вид $0.2$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 6, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 6, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- 6, 144)$ .

$(- 6, 144)$

Этап 8