Математический анализ Примеры

$y = \frac{X^{2} + 4 X + 3}{\sqrt{X}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{X}$ в виде $X^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{X^{2} + 4 X + 3}{X^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d X} (y) = \frac{d}{d X} (\frac{X^{2} + 4 X + 3}{X^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

Производная $y$ по $X$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [\frac{f (X)}{g (X)}]$ имеет вид $\frac{g (X) \frac{d}{d X} [f (X)] - f (X) \frac{d}{d X} [g (X)]}{{g (X)}^{2}}$ , где $f (X) = X^{2} + 4 X + 3$ и $g (X) = X^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d X} [X^{2} + 4 X + 3] - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{{(X^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(X^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d X} [X^{2} + 4 X + 3] - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{X^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{X^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d X} [X^{2} + 4 X + 3] - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{X^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{X^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d X} [X^{2} + 4 X + 3] - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{X^{1}}$

Этап 4.3

Упростим.

$\frac{X^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d X} [X^{2} + 4 X + 3] - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{X}$

Этап 4.4

По правилу суммы производная $X^{2} + 4 X + 3$ по $X$ имеет вид $\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [4 X] + \frac{d}{d X} [3]$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [4 X] + \frac{d}{d X} [3]) - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{X}$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + \frac{d}{d X} [4 X] + \frac{d}{d X} [3]) - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{X}$

Этап 4.6

Поскольку $4$ является константой относительно $X$ , производная $4 X$ по $X$ равна $4 \frac{d}{d X} [X]$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4 \frac{d}{d X} [X] + \frac{d}{d X} [3]) - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{X}$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d X} [3]) - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{X}$

Этап 4.8

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4 + \frac{d}{d X} [3]) - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{X}$

Этап 4.9

Поскольку $3$ является константой относительно $X$ , производная $3$ относительно $X$ равна $0$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4 + 0) - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{X}$

Этап 4.10

Добавим $2 X + 4$ и $0$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4) - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{d}{d X} [X^{\frac{1}{2}}]}{X}$

Этап 4.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4) - (X^{2} + 4 X + 3) (\frac{1}{2} X^{\frac{1}{2} - 1})}{X}$

Этап 4.12

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4) - (X^{2} + 4 X + 3) (\frac{1}{2} X^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{X}$

Этап 4.13

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4) - (X^{2} + 4 X + 3) (\frac{1}{2} X^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{X}$

Этап 4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4) - (X^{2} + 4 X + 3) (\frac{1}{2} X^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{X}$

Этап 4.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4) - (X^{2} + 4 X + 3) (\frac{1}{2} X^{\frac{1 - 2}{2}})}{X}$

Этап 4.15.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4) - (X^{2} + 4 X + 3) (\frac{1}{2} X^{\frac{- 1}{2}})}{X}$

Этап 4.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4) - (X^{2} + 4 X + 3) (\frac{1}{2} X^{- \frac{1}{2}})}{X}$

Этап 4.17

Объединим $\frac{1}{2}$ и $X^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4) - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{X^{- \frac{1}{2}}}{2}}{X}$

Этап 4.18

Перенесем $X^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X + 4) - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X) + X^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (X^{2} + 4 X + 3) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X) + X^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + (- X^{2} - (4 X) - 1 \cdot 3) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{X^{\frac{1}{2}} (2 X) + X^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - X^{2} \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 X^{\frac{1}{2}} X + X^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - X^{2} \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.2

Умножим $X^{\frac{1}{2}}$ на $X$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.1.2.1

Перенесем $X$ .

$\frac{2 (X \cdot X^{\frac{1}{2}}) + X^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - X^{2} \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.2.2

Умножим $X$ на $X^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.1.2.2.1

Возведем $X$ в степень $1$ .

$\frac{2 (X^{1} X^{\frac{1}{2}}) + X^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - X^{2} \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 X^{1 + \frac{1}{2}} + X^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - X^{2} \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 X^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + X^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - X^{2} \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 X^{\frac{2 + 1}{2}} + X^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - X^{2} \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.2.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + X^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - X^{2} \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.3

Перенесем $4$ влево от $X^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot X^{\frac{1}{2}} - X^{2} \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.4

Сократим общий множитель $X^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.1.4.1

Вынесем множитель $X^{\frac{1}{2}}$ из $- X^{2}$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} + X^{\frac{1}{2}} (- X^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.4.2

Вынесем множитель $X^{\frac{1}{2}}$ из $2 X^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} + X^{\frac{1}{2}} (- X^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{X^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} + X^{\frac{1}{2}} (- X^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{X^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - X^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $X^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} - (4 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 X \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 X$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 2 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $2 X^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 2 X) \frac{1}{2 (X^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 2 X) \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 X \frac{1}{X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.8

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{X^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + X \frac{- 2}{X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.9

Объединим $X$ и $\frac{- 2}{X^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{X \cdot - 2}{X^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.10

Перенесем $X^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + X \cdot - 2 X^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.11

Умножим $X$ на $X^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.1.11.1

Перенесем $X^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + X^{- \frac{1}{2}} X \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.11.2

Умножим $X^{- \frac{1}{2}}$ на $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.1.11.2.1

Возведем $X$ в степень $1$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + X^{- \frac{1}{2}} X^{1} \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + X^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.11.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + X^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + X^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.11.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} + X^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.12

Перенесем $- 2$ влево от $X^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 \cdot X^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.13

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.14

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2 X^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.1.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 X^{\frac{3}{2}} + 4 X^{\frac{1}{2}} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.2

Чтобы записать $2 X^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + 2 X^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.3

Объединим $2 X^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + \frac{2 X^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{X^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + \frac{2 X^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - X^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.5.1.1

Вынесем множитель $X^{\frac{3}{2}}$ из $2 X^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - X^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.4.5.1.1.1

Перенесем $X^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot 2 X^{\frac{3}{2}} - X^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.5.1.1.2

Вынесем множитель $X^{\frac{3}{2}}$ из $2 \cdot 2 X^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + \frac{X^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) - X^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.5.1.1.3

Вынесем множитель $X^{\frac{3}{2}}$ из $- X^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + \frac{X^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + X^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.5.1.1.4

Вынесем множитель $X^{\frac{3}{2}}$ из $X^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + X^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + \frac{X^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2 - 1)}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + \frac{X^{\frac{3}{2}} (4 - 1)}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.5.1.3

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + \frac{X^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.5.2

Перенесем $3$ влево от $X^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + \frac{3 X^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 X^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.4.6

Вычтем $2 X^{\frac{1}{2}}$ из $4 X^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 X^{\frac{1}{2}} + \frac{3 X^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.5.1

Умножим $\frac{2 X^{\frac{1}{2}} + \frac{3 X^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{2 X^{\frac{1}{2}} + \frac{3 X^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{X}$

Этап 4.19.5.2

Объединим.

$\frac{2 (2 X^{\frac{1}{2}} + \frac{3 X^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}})}{2 X}$

Этап 4.19.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 X^{\frac{1}{2}}) + 2 \frac{3 X^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}})}{2 X}$

Этап 4.19.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 X^{\frac{1}{2}}) + 2 \frac{3 X^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}})}{2 X}$

Этап 4.19.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 X^{\frac{1}{2}}) + 3 X^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}})}{2 X}$

Этап 4.19.5.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + 3 X^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}})}{2 X}$

Этап 4.19.5.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + 3 X^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.5.7

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2 X^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + 3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.5.8

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + 3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.5.9

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + 3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.5.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.5.10.1

Вынесем множитель $2$ из $2 X^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + 3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (X^{\frac{1}{2}})}}{2 X}$

Этап 4.19.5.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + 3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.5.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + 3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.5.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 X^{\frac{1}{2}} + 3 X^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.6.1

Чтобы записать $4 X^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{X^{\frac{1}{2}}}{X^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{4 X^{\frac{1}{2}} X^{\frac{1}{2}}}{X^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{4 X^{\frac{1}{2}} X^{\frac{1}{2}} - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.6.3.1

Умножим $X^{\frac{1}{2}}$ на $X^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.6.3.1.1

Перенесем $X^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{4 (X^{\frac{1}{2}} X^{\frac{1}{2}}) - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{4 X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{4 X^{\frac{1 + 1}{2}} - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.3.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{4 X^{\frac{2}{2}} - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.3.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{4 X^{1} - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.3.2

Упростим $4 X^{1}$ .

$\frac{3 X^{\frac{3}{2}} + \frac{4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.4

Чтобы записать $3 X^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{X^{\frac{1}{2}}}{X^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 X^{\frac{3}{2}} X^{\frac{1}{2}}}{X^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 X^{\frac{3}{2}} X^{\frac{1}{2}} + 4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.6

Умножим $X^{\frac{3}{2}}$ на $X^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.6.6.1

Перенесем $X^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 (X^{\frac{1}{2}} X^{\frac{3}{2}}) + 4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{3 X^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 X^{\frac{1 + 3}{2}} + 4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.6.4

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{\frac{3 X^{\frac{4}{2}} + 4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.6.6.5

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}}}}{2 X}$

Этап 4.19.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 X}$

Этап 4.19.8

Умножим $\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 X}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.8.1

Умножим $\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2 X}$ .

$\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{X^{\frac{1}{2}} (2 X)}$

Этап 4.19.8.2

Умножим $X^{\frac{1}{2}}$ на $X$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.8.2.1

Перенесем $X$ .

$\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{X \cdot X^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 4.19.8.2.2

Умножим $X$ на $X^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.8.2.2.1

Возведем $X$ в степень $1$ .

$\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{X^{1} X^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 4.19.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{X^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 4.19.8.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{X^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 4.19.8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{X^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Этап 4.19.8.2.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{X^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 4.19.9

Перенесем $2$ влево от $X^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{2 X^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{2 X^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d X}$ .

$\frac{d y}{d X} = \frac{3 X^{2} + 4 X - 3}{2 X^{\frac{3}{2}}}$