Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Этап 2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.2
Найдем значение .
Этап 2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.2.4
Объединим и .
Этап 2.2.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.2.6
Упростим числитель.
Этап 2.2.6.1
Умножим на .
Этап 2.2.6.2
Вычтем из .
Этап 2.2.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.2.8
Объединим и .
Этап 2.2.9
Объединим и .
Этап 2.2.10
Умножим на .
Этап 2.2.11
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.2.12
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.13
Сократим общие множители.
Этап 2.2.13.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.13.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.2.13.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.3
Найдем значение .
Этап 2.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.3
Умножим на .
Этап 3
Этап 3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.2
Найдем значение .
Этап 3.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.2.2
Перепишем в виде .
Этап 3.2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.2.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.5
Перемножим экспоненты в .
Этап 3.2.5.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.2.5.2
Объединим и .
Этап 3.2.5.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.2.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.2.7
Объединим и .
Этап 3.2.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.2.9
Упростим числитель.
Этап 3.2.9.1
Умножим на .
Этап 3.2.9.2
Вычтем из .
Этап 3.2.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.2.11
Объединим и .
Этап 3.2.12
Объединим и .
Этап 3.2.13
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 3.2.13.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.2.13.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.2.13.3
Вычтем из .
Этап 3.2.13.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.2.14
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 3.2.15
Умножим на .
Этап 3.2.16
Объединим и .
Этап 3.2.17
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.3
Продифференцируем, используя правило константы.
Этап 3.3.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.3.2
Добавим и .
Этап 4
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 5
Этап 5.1
Найдем первую производную.
Этап 5.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 5.1.2
Найдем значение .
Этап 5.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 5.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.1.2.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 5.1.2.4
Объединим и .
Этап 5.1.2.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.1.2.6
Упростим числитель.
Этап 5.1.2.6.1
Умножим на .
Этап 5.1.2.6.2
Вычтем из .
Этап 5.1.2.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 5.1.2.8
Объединим и .
Этап 5.1.2.9
Объединим и .
Этап 5.1.2.10
Умножим на .
Этап 5.1.2.11
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 5.1.2.12
Вынесем множитель из .
Этап 5.1.2.13
Сократим общие множители.
Этап 5.1.2.13.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.1.2.13.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.1.2.13.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.1.3
Найдем значение .
Этап 5.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 5.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.1.3.3
Умножим на .
Этап 5.2
Первая производная по равна .
Этап 6
Этап 6.1
Пусть первая производная равна .
Этап 6.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 6.3
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Этап 6.3.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
Этап 6.3.2
НОК единицы и любого выражения есть это выражение.
Этап 6.4
Каждый член в умножим на , чтобы убрать дроби.
Этап 6.4.1
Умножим каждый член на .
Этап 6.4.2
Упростим левую часть.
Этап 6.4.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 6.4.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.4.2.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.5
Решим уравнение.
Этап 6.5.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 6.5.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 6.5.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 6.5.2.2
Упростим левую часть.
Этап 6.5.2.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.5.2.2.2
Разделим на .
Этап 6.5.2.3
Упростим правую часть.
Этап 6.5.2.3.1
Разделим на .
Этап 6.5.3
Возведем обе части уравнения в степень , чтобы исключить дробный показатель в левой части.
Этап 6.5.4
Упростим показатель степени.
Этап 6.5.4.1
Упростим левую часть.
Этап 6.5.4.1.1
Упростим .
Этап 6.5.4.1.1.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 6.5.4.1.1.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 6.5.4.1.1.1.2
Сократим общий множитель .
Этап 6.5.4.1.1.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.5.4.1.1.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.5.4.1.1.2
Упростим.
Этап 6.5.4.2
Упростим правую часть.
Этап 6.5.4.2.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 7
Этап 7.1
Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.
Этап 7.1.1
Применим правило , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.
Этап 7.1.2
Любое число, возведенное в степень , является основанием.
Этап 7.2
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 7.3
Решим относительно .
Этап 7.3.1
Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.
Этап 7.3.2
Упростим каждую часть уравнения.
Этап 7.3.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 7.3.2.2
Упростим левую часть.
Этап 7.3.2.2.1
Упростим .
Этап 7.3.2.2.1.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 7.3.2.2.1.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 7.3.2.2.1.1.2
Сократим общий множитель .
Этап 7.3.2.2.1.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.3.2.2.1.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 7.3.2.2.1.2
Упростим.
Этап 7.3.2.3
Упростим правую часть.
Этап 7.3.2.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 8
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 9
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 10
Этап 10.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 10.2
Умножим на .
Этап 11
— локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.
— локальный максимум
Этап 12
Этап 12.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 12.2
Упростим результат.
Этап 12.2.1
Упростим каждый член.
Этап 12.2.1.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 12.2.1.2
Умножим на .
Этап 12.2.1.3
Умножим на .
Этап 12.2.2
Вычтем из .
Этап 12.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 13
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 14
Этап 14.1
Упростим выражение.
Этап 14.1.1
Перепишем в виде .
Этап 14.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 14.2
Сократим общий множитель .
Этап 14.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 14.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 14.3
Упростим выражение.
Этап 14.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 14.3.2
Умножим на .
Этап 14.3.3
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 14.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Неопределенные
Этап 15
Этап 15.1
Разобьем на отдельные интервалы в окрестности значений , при которых первая производная равна или не определена.
Этап 15.2
Подставим любое число такое, что , из интервала в первую производную , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).
Этап 15.2.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 15.2.2
Окончательный ответ: .
Этап 15.3
Подставим любое число такое, что , из интервала в первую производную , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).
Этап 15.3.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 15.3.2
Упростим результат.
Этап 15.3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 15.3.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 15.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 15.3.2.2
Вычтем из .
Этап 15.3.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 15.4
Подставим любое число такое, что , из интервала в первую производную , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).
Этап 15.4.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 15.4.2
Упростим результат.
Этап 15.4.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 15.4.2.2
Окончательный ответ: .
Этап 15.5
Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности , — локальный минимум.
— локальный минимум
Этап 15.6
Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности , — локальный максимум.
— локальный максимум
Этап 15.7
Это локальные экстремумы .
— локальный минимум
— локальный максимум
— локальный минимум
— локальный максимум
Этап 16