Математический анализ Примеры

$y = \arctan (e^{x^{4}})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (e^{x^{4}}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = e^{x^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{x^{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Этап 3.1.2

Производная $\arctan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{x^{4}}$ .

$\frac{1}{1 + {(e^{x^{4}})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x^{4}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x^{4} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Этап 3.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $e^{x^{4}}$ и $\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} (4 x^{3})$

Этап 3.4.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $4$ и $\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} x^{3}$

Этап 3.4.3.2

Объединим $\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Изменим порядок множителей в $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Этап 3.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Этап 3.5.3

Изменим порядок множителей в $\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$