Математический анализ Примеры

$u = \sqrt[7]{t} + 6 \sqrt{t^{7}}$

Этап 1

Запишем правую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{7}}$ .

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 \sqrt{t^{7}}$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t^{7}}$ в виде $t^{\frac{7}{2}}$ .

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (u) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}})$

Этап 3

Производная $u$ по $t$ равна $u'$ .

$u'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Этап 4.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Этап 4.2.5.2

Вычтем $7$ из $1$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{- 6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Этап 4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6 t^{\frac{7}{2}}$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1})$

Этап 4.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 2}{2}})$

Этап 4.3.6.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{5}{2}})$

Этап 4.3.7

Объединим $\frac{7}{2}$ и $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

Этап 4.3.8

Объединим $6$ и $\frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{6 (7 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

Этап 4.3.9

Умножим $7$ на $6$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{42 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

Этап 4.3.10

Вынесем множитель $2$ из $42 t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

Этап 4.3.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Этап 4.3.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{21 t^{\frac{5}{2}}}{1}$

Этап 4.3.11.4

Разделим $21 t^{\frac{5}{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Этап 4.4.2

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Этап 4.4.3

Изменим порядок членов.

$21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$u' = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

Этап 6

Заменим $u'$ на $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d u}{d t} = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$