Математический анализ Примеры

$2 x^{2} + x + x y = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + x + x y) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + x + x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 1 + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$4 x + 1 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 x + 1 + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 1 + x y' + y \cdot 1$

Этап 2.4.4

Умножим $y$ на $1$ .

$4 x + 1 + x y' + y$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$x y' + 4 x + y + 1$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + 4 x + y + 1 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x y' + y + 1 = - 4 x$

Этап 5.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 1 = - 4 x - y$

Этап 5.1.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x y' = - 4 x - y - 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $x y' = - 4 x - y - 1$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $x y' = - 4 x - y - 1$ на $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Разделим $- 4$ на $1$ .

$y' = - 4 + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - 4 - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - 4 - \frac{y}{x} - \frac{1}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 4 - \frac{y}{x} - \frac{1}{x}$