Математический анализ Примеры

$x y - x + y = 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x y - x + y) = \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x y - x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x y' + y - 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y - 1 + y'$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + y - 1 + y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' - 1 + y' = - y$

Этап 5.1.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x y' + y' = - y + 1$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $x y' + y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x + y' = - y + 1$

Этап 5.2.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' x + y' = - y + 1$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = - y + 1$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = - y + 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (x + 1) = - y + 1$ на $x + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (x + 1) = - y + 1$ на $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y + 1}{x + 1}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (y) + 1}{x + 1}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (y) - 1 (- 1)}{x + 1}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (y - 1)}{x + 1}$

Этап 5.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перепишем $- (y - 1)$ в виде $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (y - 1)}{x + 1}$

Этап 5.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y - 1}{x + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 1}{x + 1}$